Superficie cuádricas
Larson 11.6: Superficies cuádricas
Este tipo de superficies en el espacio son las análogas a las secciones cónicas en R[sup]2[/sup].[br][br]La forma general de una superficie cuádrica es:[br][br][center][b]A[/b]x[sup]2[/sup] + [b]B[/b]y[sup]2[/sup] + [b]C[/b]z[sup]2[/sup] + [b]D[/b]xy + [b]E[/b]xz + [b]F[/b]yz + [b]G[/b]x+ [b]H[/b]y + [b]I[/b]z + [b]J[/b] = 0[/center]Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: [b]elipsoide[/b], [b]hiperboloide de una hoja[/b],[b] hiperboloide de dos hojas[/b], [b]cono elíptico[/b], [b]paraboloide[/b] y [b]paraboloide hiperbólico[/b].
Cuádricas 1
Cuádricas 2
Trazas
Las trazas corresponden a las vistas laterales (planos [b]xz [/b]y [b]yz[/b]) y la vista superior (plano [b]xy[/b]) de cualquier superficie en el espacio.[br][br]Te dejo un video y unos recursos en donde podrás revisar el análisis de las superficies cuádricas con sus trazas.
Trazas: recurso en GeoGebra
A continuación, te dejo un [b]Paraboloide Hiperbólico: [/b] [math]z=x^2-y^2[/math][br][br]En el recurso, puedes desplazar el valor de [b]k[/b] con el que moverás un plano paralelo a los planos principales ([b]xy[/b], [b]yz[/b] y [b]xz[/b]). Dicho movimiento podrás ver las [i]cónicas [/i]que se generan[i].[/i]
Cuádricas en GeoGebra
Te dejo unos recursos increíbles, en los que podrás visualizar las cuádricas con sus ecuaciones, rotar las superficies y ver las trazas.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/Fzpbdx4B?doneurl=%2Feduardotot]Elipsoide[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/s4Sr8vfE?doneurl=%2Feduardotot]Hiperboloide de una hoja[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/NDbPJrgf?doneurl=%2Feduardotot]Hiperboloide de dos hojas[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/rzenCb5S?doneurl=%2Feduardotot]Paraboloide elíptico[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/VWSdjJYT?doneurl=%2Feduardotot]Paraboloide hiperbólico[/url]
Pregunta
Selecciona la opción que contenga el nombre de la cuádrica de la siguiente ecuación: [math]\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{9}=1[/math][br]Primero, intenta dar el nombre por tu cuenta. Puedes utilizar [url=https://app.geogebra.org/#3d]GeoGebra[/url] para verificar la respuesta.
Pregunta
Selecciona la opción que contenga el nombre de la cuádrica de la siguiente ecuación: [math]4x^2-y^2+4z^2=4[/math][br]Primero, intenta dar el nombre por tu cuenta. Puedes utilizar [url=https://app.geogebra.org/#3d]GeoGebra[/url] para verificar la respuesta.
Pregunta
Selecciona la opción que contenga el nombre de la cuádrica de la siguiente ecuación: [math]4x^2-4y+z^2=0[/math][br]Primero, intenta dar el nombre por tu cuenta. Puedes utilizar [url=https://app.geogebra.org/#3d]GeoGebra[/url] para verificar la respuesta.
Pregunta
Selecciona la opción que contenga el nombre de la cuádrica de la siguiente ecuación: [math]15x^2-4y^2+15z^2=-4[/math][br]Primero, intenta dar el nombre por tu cuenta. Puedes utilizar [url=https://app.geogebra.org/#3d]GeoGebra[/url] para verificar la respuesta.
Pregunta
Selecciona la opción que contenga el nombre de la cuádrica de la siguiente ecuación: [math]y^2=4x^2+9z^2[/math][br]Primero, intenta dar el nombre por tu cuenta. Puedes utilizar [url=https://app.geogebra.org/#3d]GeoGebra[/url] para verificar la respuesta.
Pregunta
Selecciona la opción que contenga el nombre de la cuádrica de la siguiente ecuación: [math]4x^2-y^2+4z=0[/math][br]Primero, intenta dar el nombre por tu cuenta. Puedes utilizar [url=https://app.geogebra.org/#3d]GeoGebra[/url] para verificar la respuesta.
Cuando estudies Matemáticas debes de tener claro los conceptos vistos en clase.
Con respecto al tema de ecuaciones diferenciales debes de saber:
4 Resolver problemas de aplicación y formular problemas con ecuaciones diferenciales.
5 Identificar diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden suprior.
Ahora resuelve los siguientes ejercicios:
1. Clasificar una ecuación diferencial según su orden, tipo y linealidad.
Clasifica las siguientes ecuaciones diferenciales según su orden, tipo y linealidad:
$$b. \frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } +3x\frac { { \partial }^{ }z }{ \partial { y }^{ } } =8$$.
$$c. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +3xy\frac { { d }^{2 }y }{ { dx }^{2 } } =x$$.
$$d. \frac { { d }^{ 4 }y }{ {d x }^{ 4 } } +3xy\frac { { d }^{2 }y }{ { dx }^{2 } } =sen(x)$$
2. Demuestre si cada función dada es una función de la ecuación diferencial:
$$a. y={ t }^{ -4 };\quad \quad \quad \quad t\frac { dy }{ dt } +4y=0.\\ b. y=tln(t);\quad \quad \quad { t }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } -t\frac { dy }{ dt } +y=0\\ c. y={ t }^{ 3 }+2\sqrt { t } ;\quad \quad \quad 2{ t }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } -5t\frac { dy }{ dt } +3y=0$$
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
$$a. \frac { dx }{ dy } =\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 1+x } \\ Determine\quad si\quad las\quad ecuaciones\quad son\quad exactas\quad en\quad caso\quad afirmativo\quad resuélvalas\\ b. (2x-1)dx+(3y+7)dy=0\\ c. (5x+4y)dx+(4x-8{ y }^{ 3 })dy=0\\ d. (2{ y }^{ 2 }x-3)dx+(2y{ x }^{ 2 }+4)dy=0\\ \\Resuelva\quad las\quad ecuaciones\quad lineales:\\ e. x\frac { dy }{ dx } +2y=3\\ f. \frac { dy }{ dx } +5y=20\quad \quad \quad y(0)=2\\ g. \frac { dy }{ dx } +3{ x }^{ 2 }y={ x }^{ 2 }\\ h. \frac { dy }{ dx } =y+{ e }^{ x }\\ \\Resuelva\quad las\quad ecuaciones\quad homogéneas:\\ i. x{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } ={ y }^{ 3 }-{ x }^{ 3 }\quad \quad \quad \quad \quad y(1)=2\\ j. ({ y }^{ 2 }+yx)dx+{ x }^{ 2 }dy=0\\k. ({ x }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 })\frac { dx }{ dy } =xy$$\\
4. Resolver:
a. Una inversión inicial de 10,000 crece continuamente a una tasa de interés nominal del 5%.
i.) Determine el valor de la inversión en cualquier instante t.
ii) ¿Cuál es el valor de la inversión después de 8 años?
iii) ¿Después de cuántos años el valor de la inversión ascenderá a 20,000?
b. Una inversión crece de acuerdo con la ecuación diferencial
$$\frac { dA }{ dt } =rA+I(t))$$
donde r es la tasa de interés nominal e I(t) es la tasa de inversión del capital nuevo.
Resuelva esta ecuación cuando I(t) es constante y A(0) = 0.
c. En un pueblo cuya población es 2000, la propagación de una epidemia de influenza sigue la ecuación diferencial
$$\frac { dy }{ dt } =py(2000-y)$$
en donde y es el número de personas infectadas en el instante t (t se mide en semanas) y p = 0.002. Si inicialmente dos personas estaban enfermas, encuentre y como una función de t. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que tres cuartos de la población esté infectada?
d. La elasticidad de la demanda es
$$\eta =\frac { p }{ p-10 } $$
Determine la función de demanda p= f(x), si 0 < p < 10 y p = 7 cuando x= 15.
5. Determinar las soluciones de las ecuaciones diferenciales:
$$a. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +3\frac { d y } { dx }+2y =0$$
$$b. 3\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -8\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } }+5y =0$$
$$c. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +4\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } }+4y =0$$
$$d. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } }+y =0$$
$$e. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +9y =0$$
$$f. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +2\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } }-48y =0$$.
Resolver usando el método de los coeficientes indeterminados:
$$g.\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +4\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } } +4y=x.\\ { h.\quad y }"+3y´+2y={ x }^{ 2 }\\ i.\quad { y }"+6y´+8y={ 3{ e }^{ -2x }+2x }\\ \\ Resolver\quad por\quad variación\quad de\quad parámetros\\ j.\quad y"+y={ cos }^{ 2 }(x)\\ k.\quad y"-9y=\frac { 9x }{ e^{ 3x } }$$
a. xy´´ +3y´ -2y =sen (xy)
$$b. \frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } +3x\frac { { \partial }^{ }z }{ \partial { y }^{ } } =8$$.
$$c. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +3xy\frac { { d }^{2 }y }{ { dx }^{2 } } =x$$.
$$d. \frac { { d }^{ 4 }y }{ {d x }^{ 4 } } +3xy\frac { { d }^{2 }y }{ { dx }^{2 } } =sen(x)$$
2. Demuestre si cada función dada es una función de la ecuación diferencial:
$$a. y={ t }^{ -4 };\quad \quad \quad \quad t\frac { dy }{ dt } +4y=0.\\ b. y=tln(t);\quad \quad \quad { t }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } -t\frac { dy }{ dt } +y=0\\ c. y={ t }^{ 3 }+2\sqrt { t } ;\quad \quad \quad 2{ t }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ t }^{ 2 } } -5t\frac { dy }{ dt } +3y=0$$
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
$$a. \frac { dx }{ dy } =\frac { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ 1+x } \\ Determine\quad si\quad las\quad ecuaciones\quad son\quad exactas\quad en\quad caso\quad afirmativo\quad resuélvalas\\ b. (2x-1)dx+(3y+7)dy=0\\ c. (5x+4y)dx+(4x-8{ y }^{ 3 })dy=0\\ d. (2{ y }^{ 2 }x-3)dx+(2y{ x }^{ 2 }+4)dy=0\\ \\Resuelva\quad las\quad ecuaciones\quad lineales:\\ e. x\frac { dy }{ dx } +2y=3\\ f. \frac { dy }{ dx } +5y=20\quad \quad \quad y(0)=2\\ g. \frac { dy }{ dx } +3{ x }^{ 2 }y={ x }^{ 2 }\\ h. \frac { dy }{ dx } =y+{ e }^{ x }\\ \\Resuelva\quad las\quad ecuaciones\quad homogéneas:\\ i. x{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } ={ y }^{ 3 }-{ x }^{ 3 }\quad \quad \quad \quad \quad y(1)=2\\ j. ({ y }^{ 2 }+yx)dx+{ x }^{ 2 }dy=0\\k. ({ x }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 })\frac { dx }{ dy } =xy$$\\
4. Resolver:
a. Una inversión inicial de 10,000 crece continuamente a una tasa de interés nominal del 5%.
i.) Determine el valor de la inversión en cualquier instante t.
ii) ¿Cuál es el valor de la inversión después de 8 años?
iii) ¿Después de cuántos años el valor de la inversión ascenderá a 20,000?
b. Una inversión crece de acuerdo con la ecuación diferencial
$$\frac { dA }{ dt } =rA+I(t))$$
donde r es la tasa de interés nominal e I(t) es la tasa de inversión del capital nuevo.
Resuelva esta ecuación cuando I(t) es constante y A(0) = 0.
c. En un pueblo cuya población es 2000, la propagación de una epidemia de influenza sigue la ecuación diferencial
$$\frac { dy }{ dt } =py(2000-y)$$
en donde y es el número de personas infectadas en el instante t (t se mide en semanas) y p = 0.002. Si inicialmente dos personas estaban enfermas, encuentre y como una función de t. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que tres cuartos de la población esté infectada?
d. La elasticidad de la demanda es
$$\eta =\frac { p }{ p-10 } $$
Determine la función de demanda p= f(x), si 0 < p < 10 y p = 7 cuando x= 15.
5. Determinar las soluciones de las ecuaciones diferenciales:
$$a. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +3\frac { d y } { dx }+2y =0$$
$$b. 3\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -8\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } }+5y =0$$
$$c. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +4\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } }+4y =0$$
$$d. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } }+y =0$$
$$e. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +9y =0$$
$$f. \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +2\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } }-48y =0$$.
Resolver usando el método de los coeficientes indeterminados:
$$g.\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +4\frac { { d }^{ }y }{ { dx }^{ } } +4y=x.\\ { h.\quad y }"+3y´+2y={ x }^{ 2 }\\ i.\quad { y }"+6y´+8y={ 3{ e }^{ -2x }+2x }\\ \\ Resolver\quad por\quad variación\quad de\quad parámetros\\ j.\quad y"+y={ cos }^{ 2 }(x)\\ k.\quad y"-9y=\frac { 9x }{ e^{ 3x } }$$
Donde puedo encontrar los resultados de los ejercicios?
ResponderEliminarLos puede verificar con un software como wolfram alpha&oq o symbolab
EliminarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminaren donde esta el supuesto video de la resolución de ejercicios compa
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