¿Cómo y dónde se aplican las series de Fourier

INTRODUCCION

Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico de tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo,  donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza económica, en electrónica (se aplican por ejemplo en teoría de señales ), en acústica o en óptica. Los problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados hoy como problemas muy difíciles.

APLICACIÓN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Es importante considerar la aplicación de las series de fourier, ya que estas sirven mucho en el procesamiento digital de señales, la cual es una área de las ciencias e  ingeniería que se ha desarrollado rápidamente en los últimos 30 años.
Este rápido desarrollo es resultado de avances tecnológicos tanto en los ordenadores digitales como en la fabricación de circuitos integrados. Estos circuitos digitales baratos y relativamente rápidos han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de realizar funciones y tareas del procesado de señales que convencionalmente se realizaban analógicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, mas barato y a menudo más fiable. Es relevante diferencie entre una señal analógica y digital para comprender mejor el procesamiento de señales, el nombre de una señal analógica se deriva del hecho de que es una señal análoga a la señal física que se representa .La magnitud de una señal analógica pude tomar cualquier valor, esto es, la amplitud de una señal analógica exhibe una variación continua sobre su campo de actividad. La gran mayoría de señales en el mundo que hay a nuestro alrededor son analógicas. Los circuitos que procesan estas señales se conocen como circuitos analógicos. Una forma alternativa de representación de señal es la de una secuencia de números, cada uno de los cuales representa la magnitud de señal en un instante determinado. La señal resultante se llama señal digital, esta a diferencia de la señal analógica es una señal que esta discretisada en el tiempo y cuantificada en magnitud. El procesamiento de señales se correlaciona con las series de fourier ya que esta nos permite expresar una función periódica de tiempo como la suma de un numero infinito de senoides cuyas frecuencias están armónicamente relacionadas La importancia de esto radica en que la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con señales, ya que para que nosotros podamos procesar estas señales es necesario expresarlas como una combinación lineal de términos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier.


APLICACIONES EN LA MEDICINA
Diagnóstico automático: La ecografía permite registrar la vibración de cada una de las membranas del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de ordenador calcula los primeros términos de las sucesiones (coeficientes de Fourier). En el caso de la válvula mitral, son suficientes los dos primeros coeficientes de Fourier para diagnosticar al paciente. Esta forma de diagnóstico disminuye costes en el sistema sanitario y, sobre todo, evita al paciente los riesgos y molestias inherentes a las pruebas endoscópicas

APLICACIONES DIVERSAS

Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienen muchas aplicaciones dentro de los campos de la física y de la matemática entre otros. La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T. Este problema aparece por ejemplo en astronomía en donde Neugebauer (1952) descubrió que los Babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la predicción de ciertos eventos celestiales.
La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D’Alembert (1747) y su trabajo de las oscilaciones de las cuerdas de violín. El desplazamiento de una cuerda de violín como una funcion del tiempo y de la posición es solución de una ecuación diferencial.
La solución de este problema es la superposición de dos ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad como lo expresa la formula de D´Alembert En la cual la función es impar de periodo 2 que se anula en algunos puntos específicos. Euler en 1748 propuso que tal solución podía ser expresada en una serie en función de senos y como consecuencia una serie con producto de senos y cosenos, Las mismas ideas fueron luego expuestas por D.Bernoulli (1753) y lagrange (1759). La formula para calcular los coeficientes apareció por primera vez en un artículo escrito por Euler en 1777.
La contribución de Fourier comenzó en 1807 con sus estudios del problema del flujo del calor presentado a la academia de ciencias en 1811 y publicado en parte como la celebre teoría analítica del calor en 1822. Fourier hizo un intento serio por demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida en una serie trigonométrica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada por Drichlet en 1829.
Modernamente el análisis de Fourier ha sido impulsado por matemáticos como lebesgue Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weily Weyl entre otros.
El poder extraordinario y la flexibilidad de las series de Fourier se ponen de manifiesto en la asombrosa variedad de aplicaciones que estas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física matemática desde la teoría de números y geometría hasta la mecánica quántica.
Algunas de las más importantes aplicaciones de las series de Fourier son:

• El problema isoperimétrico
• Temperatura de la tierra
• Evaluación de series no triviales
• La desigualdad de Wirtinger
• Solución de ecuaciones diferenciales
• Flujo del calor
• Ecuación de ondas
• Formula de Poisson
• Identidad de Jacobi

Veamos de forma breva algunas de estas de estas aplicaciones:

o El problema isoperimétrico que es de carácter matemático afirma que si C es una curva cerrada simple con un tipo de clase y de longitud unitaria, entonces el área A encerrada por la curva satisface cierta desigualdad. La desigualdad se satisface si y solos si C es una circunferencia. En consecuencia entre todas las curvas cerradas simples de longitud unitaria la que encierra mayor área es la circunferencia.
o Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la temperatura de la tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie. Describamos la temperatura de la superficie terrestre como una función f periódica en el tiempo t y de periodo 1(un año). La temperatura y la profundidad en un tiempo y longitud respectivamente, mayores o iguales a cero son también periódicas. Bajo estas circunstancias la temperatura puede ser expandida mediante una serie de Fourier para cada valor x fijo.

o Otra de las aplicaciones de la serie de Fourier es la evaluación de las series no triviales mediante la identidad de plancherel para calcular algunas sumas infinitas.
o La desigualdad de wirtinger es una aplicación de tipo matemática de las series de Fourier para una función continua definida en un intervalo cerrado.


o Tal vez una de las propiedades más importantes de las series de Fourier y en particular de las integrales de Fourier se presenta en la solución de ecuaciones diferenciales ya que transforma operadores diferenciales con coeficientes constantes en multiplicación por polinomios.

o Otra de las aplicaciones importantes de la serie de Fourier y en este caso de la transformada de Fourier es el problema del flujo del calor. el planteamiento de este problema es similar al del problema anterior.

o Las aplicaciones tanto en la ecuación de ondas, la formula de Poisson y la Identidad de Jacobi son de carácter matemático riguroso por lo que se dejan indicadas.


Teorema de transplantacion para las series de Fourier-Bessel

La presente aplicación es de tipo matemática utilizando una sucesión de ceros positivos de la función de Bessel de cierto tipo de orden, en este punto una sucesión de funciones forman un sistema ortonormal completo. Las series de fourier asociadas a este sistema ortonormal se denominan series de Fourier-Bessel dentro de este estudio cabe mencionar el teorema de transplantacion con pesos potenciales para este tipo de series de fourier que permite un rango lo mas alto posible para los parámetros involucrados.