Cálculo I

2.Encontrar la primera derivada usando la definición del limite:

a. f(x) = 3x^{2 _}5x+1

b.f(x) = 1/(x+2)

c. f(x) = 2/√x

3. Calular la primera derivada de:

     4. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva dada  en el punto indicado:

a. la curva  f(x) = X³+1  en el punto X=2.

b. la curva  f(x) = X²+3X+4  en el punto X=0.

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva x²+y²=20  en el punto  (2,4).

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Cálculo diferencial e integral de Purcell Edwin J, Dale Varberg, Novena Edición, editorial Pearson Educación

10.      Encuentra el cociente y el residuo de las siguientes divisiones, usando tanto el método largo como la división sintética.

a.        (3x⁴-2x²+5x-2)/(x-3)

b.      (-x⁴+2x³-3x+1)/(x+4)

c.       (3x³+2x²-x)/(x+2)

d.      (x³-8)/(x-2).

e.       Calcula k para que el residuo de la división  (5x⁴ + x² - k x – 4) /(x - 2) sea - 4.

f.       Encontrar el valor de k para que al dividir 2x² − kx + 3 entre (x − 2) dé de resto 4.

      5. EJERCICIOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

  Dadas las siguientes funciones:  determinar los puntos máximos, mínimos y puntos de inflexión,intervalos de concavidad y crecimiento, además realizar una grafica de la función.

a.       f(x) = x³-12x

b.      f(x) = x³-6x²+12x

c.       f(x) = X³+1

d.      f(x) = 2x³-3x²-12x+10

e.      f(x) = 3x-x³

f.        f(x) = x⁴-8x²+3

g.       f(x) = x⁴+2x³-3x²-4x+4

Ejercicios de trigonometria.

       1.  Sabiendo que sen(α)=1/4, encontrar las demás relaciones trigonométricas.

       2.  Sabiendo que sec(α) = 2, 0< α < ∏/2, calcular las restantes razones trigonométricas.

3.  Comprobar las identidades:

a.   Tg(A)+cot(A)=sec(A)csc(A)

b.  Cot²(B)=cos²(B)+(cot(B)cos(B))²

4.  De un triángulo rectángulo ABC, se sabe que un lado a = 5mt y el angulo B = 41.7°. Determinar el valor de los demás lados y ángulos, asimismo calcular el valor de su área

5.  De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Determinar el valor de los demás lados y ángulos, asimismo calcular el valor de su área

6.  Un triangulo tiene como medida de sus lado de 30 y 40 cm y si el ángulo formado entre estos dos lados es de 45⁰, encontrar el valor de su otro lado, sus ángulos, su altura con respecto al lado cuya medida es de 30 cm y su área.

7.  Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

8.  Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

9.  Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

10.           Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a.   2tg(x)-3cot(x)-1=0

b.  Cos²(x)-3sen²(x)=0

12. Expresar en función del sen y coseno de 30 y 45 grados.

     a. sen(75)    b. cos(15).
 
       13 Graficar las funciones trigonometricas:
    a. f(x)=sen(x+ π)
    b. f(x)=3cos(x+ π/2)

Ejercicios sobre funciones y ecuaciones:

 exponenciales y logaritmicas

1.  Graficar las siguientes funciones y determinar tanto su dominio como su rango.

a.      f(x)= 2^-0,5x

b.      f(x)=10(e^0,693x)).

c.       F(x)= log₂(x-1)

d.      F(x)= 5 ln (x+5).

 2.     En un determinado  proceso de la mitosis  se ha comenzado con un cultivo de 30 células, cada célula crece durante cierto periodo y después se divide en dos células idénticas, si suponemos  que el tiempo necesario para que cada célula se divida en dos es constante  y que no cambia al aumentar  el número  de células,  y si al cabo de dos horas el número  de células  se ha duplicado, ¿Cuál  será  la función  que muestra  el crecimiento celular en función del tiempo?

3. Halla el valor de x:

a ) log ₂ x = - 3

b) log ₇ x = 3

c) log ₆ [ 4 ( x - 1 ) ] = 2

d) log ₈ [ 2 ( x ³ + 5 ) ] = 2

e) log _x 125 = 3

f) log _x 25 = - 2

g) log _{2 x + 3} 81 = 2

4. Calcula el valor de x que haga cierta cada una de estas igualdades:

a) log_1/2 32 = x   b) 9^x+27 = 4.3^x+1

5. Resolver la ecuación: 2^x+2.128 = 4^x-1

6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

2^x+y =16

9^x = 3^y-1

- Resuelve la siguiente ecuación:

4^x-1- 3.2^x+1+32 = 0

 Resolver la ecuación: 2 · log(5x - 4) - log 4 = log (x + 4)

7.  Sabiendo que log 2 = 0,3010 y que log 3 = 0,4771. 

Calcula:

a) log 36

b) log (9/4)

c) log 5

       

Ejercicio para presentar: 

 EN EL SIGUIENTE LINK ENCONTRARÁN UN PDF CON FORMULAS DE DERIVADAS E INTEGRALES ASIMISMO QUE CON EJERCICIOS PROPUESTOS CON SU RESPECTIVA RESPUESTA: http://chopo.pntic.mec.es/~fgrino/ejercicios%20resueltos%20de%20derivadas.pdf

2. resolver los siguientes problemas:

a. Una huerta tiene actualmente 16 árboles, que producen 400 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?

b. Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 2 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

 c. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³ , su altura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

d. Con cuatro pies de alambre se desea construir un círculo y un cuadrado. Cuanto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área máxima.

e. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Problemas de razones de Cambio:

1.       Un disco metálico se dilata debido al calentamiento a que es sometido; si el radio crece a razón de 0,25 cm/sg, ¿con qué rapidez está creciendo el área, cuando el radio es de 8 cms?

2.       Si se infla un globo de forma esférica a razón de 80 cm³/sg, ¿con que velocidad crece el radio cuando éste es de 6cm?

3.       De un embudo cónico sale agua a razón de 1 cms cúbico por segundo, sabiendo que el radio de la base es de 4 cms y la altura de 8cms, Calcular el descenso del nivel en la unidad de tiempo en el instante en que la superficie libe se encuentra a una distancia de 6 cms de la base del embudo. Respuesta:   -1/9π cm/sg.